1. 分数的基本概念
分数是表示部分与整体关系的一种数，由分数线和分母、分子组成。分子表示平均分后得到的份数，分母表示总份数，分数线表示等分关系。理解分数就是理解两个整数之间的关系。
1.1 分数的读写
1.1.1 读法：整数部分读作整数，分数部分读作分数。
1.1.2 写法：整数部分若为0，通常省略；分数部分按照规定诵读。
1.1.3 分数的大小排序：分子大的分数大，分子小的分数小，分子相同的分数大，分子大的分数大，分子小的分数小。
已知$frac{2}{3}$，读作三分之二，表示把一个整体平均分成3份，取其中的2份。所以分子是2，分母是3，分数线表示等分，分数读作分数。
1.2 分数的基本性质1.2.1 性质描述：分数的分子和分母同时乘或除以一个非零自然数，分数的大小不变。
1.2.2 性质应用：这是约分与通分的理论依据，常用于化简或比较分数。
1.2.3 性质步骤：先找公因数进行约分，再寻找最小公倍数进行通分。
【应用案例示例】例1：约分
将$frac{4}{8}$约分：
分子4和分母8有公因数4，除以4得到$frac{1}{2}$
例2：通分
将$frac{1}{3}$和$frac{1}{4}$通分：
分母3和4的最小公倍数是12，分别乘以4和3，得到$frac{4}{12}$和$frac{3}{12}$
1.3.1 同分母分数加减法：分母不变，分子做加减。
1.3.2 异分母分数加减法：先通分，再按同分母法则计算，最后约分。
1.3.3 简便运算技巧：利用分配律进行简便计算，节省笔算时间。
【应用案例示例】例3：异分母分数加减
$frac{1}{2} - frac{1}{3}$
第一步：通分，$frac{1}{2}$化为$frac{3}{6}$，$frac{1}{3}$化为$frac{2}{6}$
第二步：相减，$frac{3}{6} - frac{2}{6}$
第三步：结果为$frac{1}{6}$
1.4.1 乘法规律：分数乘以整数，用分子乘整数，分母不变。
1.4.2 乘法规律：分数乘以分数，分子乘分子，分母乘分母
1.4.3 分数乘法性质：一个分数乘0，结果是0
【应用案例示例】例4：因数应用
$frac{5}{6} times frac{2}{3}$
分子5乘2得10，分母6乘3得18，结果$frac{10}{18}$
约分：$frac{5}{9}$
1.5.1 除法规律：分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。
1.5.2 除法规律：分数除以分数，等于被除数乘除数的倒数。
1.5.3 除法性质：一个分数除以0，结果无意义。
【应用案例示例】例5：除法转换
$frac{2}{3} div frac{4}{5}$
转换为乘法：$frac{2}{3} times frac{5}{4}$
分子2乘5得10，分母3乘4得12，结果$frac{10}{12}$
约分：$frac{5}{6}$
1.1 小数的性质
小数末尾的0可以去掉，数值不变。
1.2 小数的读写
整数部分按整数读，小数点读作点，小数部分依次读出每个数位上的数。每一个数位上记下一个单位的数就是它的计数单位。最小的一位小数计数单位是0.1。
例6：改写与比较
0.50读作零点五，与0.5大小相等。
2.1 小数点对齐
小数加减时，必须小数点对齐，相同数位对齐。
2.2 小数性质复用
利用性质可以去掉末尾的0，使计算更简便。
例7：混合运算
0.25 + 0.50 + 0.125
0.25 + 0.125=0.375，加上0.50得0.875。
3.1 小数乘法
小数乘法积的位数一般与因数的位数之和相同。计算时先按整数算，再看小数点。因数中有几位0，积的小数点要向左移动几位。
3.2 小数除法
除数是整数的除法，按整除方法计算，余数继续落下来；除数不是整数的除法，按分数除法计算。
3.3 简便计算
利用积的变化规律，倍乘或几倍除，被除数/除数要乘或除以几。
例8：小数乘法复合
0.25 × 4.0
0.25 × 4=1.00，结果1。
4.1 百分数的读写
百分数读作百分之几；写作%。
4.2 百分数性质
百分数大小与单位无关，读作“百分之几”，化为小数时，除以100。
例9：百分数转换
40%读作百分之四十，化为小数是0.4。
转换规则
小数化百分数，小数点向右移动两位；百分数化小数，小数点向左移动两位。
应用实例
0.25化为百分数是25%；50%化为小数是0.5。
例10：混合应用
1.25化为百分数是125%，化为小数是1.25。
技巧一：转化
将小数转化为分数，再进行计算。例如$frac{1}{4} times 8$可看作1/4乘8。
技巧二：拆分
将多位小数拆成几位小数的几次方，分别计算后相加。
技巧三：律法
利用积的积，除的互为倒数，进行简便计算。
例11：连乘应用
$frac{1}{2} times frac{1}{3} times 6$
$frac{1}{2} times frac{1}{3} = frac{1}{6}$，$frac{1}{6} times 6 = 1$。
应用背景
百分数常用于统计和比较，表示一个数是另一个数的百分之几，通常省略写成百分号的形式。
关键点
解决百分数应用题时，要找到单位“1”，把百分数化为小数后，用分数的关系列方程或计算。
例12：增长率
某商品原价100元，降价20%，现价是多少？
计算：100 - 100×20%=80元。
概念辨析
线段有两个端点，直线没有端点，射线有一个端点。
图形表示
线段的表示方法通常是端点字母加中间字母，如AB、AC；射线表示为OA，直线表示为直线BC。
性质
线段的长度是小于或等于1的数。
角的表示
角用大写字母表示，中间加弧线，如 $angle A$；用三个大写字母表示，中间加弧线，如 $angle ABC$。
角的分类
锐角小于90度；直角等于90度；钝角大于90度但小于180度；平角等于180度；周角等于360度。
工具使用
使用量角器时，要注意中心点与顶点重合，一条边与角的一边重合，读出另一条边的度数。
例13：角的计算
已知 $angle A = 30^circ$，$angle B = 45^circ$，求 $angle C$？
若 $angle A$ 与 $angle B$ 组成一个平角，则$angle C = 180^circ - 30^circ - 45^circ = 105^circ$。
平行线的判定
同位角相等、内错角相等、同旁内角互补时，两直线平行。
垂直的定义
两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，记作$perp$，读作垂直于。
例14：几何作图
若 直线AB与CD相交于点O，且$angle AOB = 90^circ$，则AB与CD的关系是垂直于点O。
内角和公式
任意n边形，其内角和为(n-2)×180度。
外角和
任意多边形，其外角和恒等于360度。
多边形分割
将一个n边形分割成n-2个三角形，其内角和为(n-2)×180度。